II 1 i II 2



II 4.

I 3. Zadatak

II 2. zadatak

Ja sam postavila ovu sliku sa rešenjem zadatka II-1.

I 1. zadatak:
H je ortocentar
O je centar upisane kružnice
A1 je podnožje visine iz A na BC
C1 je podnožje visine iz C na AB
∠CHN=φ i ∠CHM=180-φ
∠ACC1=90-α
∠HCN=γ-(90-α)=γ+α-90
Pošto je CM=CN, onda je ∠CMN=∠CNM.
Poštoje ∠CMN=∠CNM, onda je i ∠ACC1+∠CHM=∠HCN+∠CHN
90-α+180-φ=γ+α-90+φ
360=γ+2α+2φ=180-β+α+2φ
180=-β+α+2φ
2φ=180-α+β
φ=(180-γ)/2=90-γ/2
180-γ=180-α+β
(i)γ=α-β
O1 je podnožje visine iz O na AC.
AO1=CO1 (OA=OC)
OO1 ∩ AA1 = S
OO1 ∩ A1C1 = T
OO1 ∩ CC1 = E
Posmatramo četvorougao SO1CA1:
Pošto je ∠SO1C=90 i ∠SA1C=90, onda je četvorougao SO1CA1 tetivan. Pošto je tetivan, onda je ∠A1SO1=180-γ ⟹ ∠A1SO=γ
Pošto je ∠CC1A=90 i ∠AA1C=90, možemo opisati kružnicu oko četvorougla CC1A1A. Odatle dobijamo da je ∠CC1A1=180-α i ∠C1A1A=180-γ.
∠SA1O=180-α-90=90-α
Posmatramao trougao A1TS:
∠STA1=180-γ-(90-α)=90-γ+α
Pomoću obrasca (i) dobijamo ∠STA1=90+β
Posmatramo četvorougao BA1HC1:
∠HA1B+∠HC1B=90+90=180 ⟹ četovorougao BA1HC1 je tetivan⟹∠A1HC1=180-β⟹∠CHA1=β
Posmatramo trougao SHE:
∠HES=180-β-γ=α
Posmatramo četvorougao CA1TE:
∠A1TE+∠A1CE=90-β+90+β=180, odakle dobijamo da je četvorougao CA1TE tetivan, odkle dobijamo da je ∠CET=α.
Pošto je ∠CET+∠HES=2α=180, dobijamo da je α=90. O je na središtu BC. M=A i N=O.
OA=OC⟹trougao OAC je jednakostraničan, pa je γ=60.

Нека стикер садржи прво ознаку II и редни број задатка, а тек онда коментар о решењу. Срећан рад!

Да коментар вежемо за текст, наведите I па редни број задатка!

Iсм, здраво свима!
Овде коментаришемо задатке са такмичења.