Playing a video (Stop)
Powered by Haskell (GHC 8.8.4 )
1576926951401997680375680621436.jpg
Download (3.3MB)

II 1 i II 2

viber_slika_2019-12-21_11-45-29.jpg
Download (220KB)

II 4.

I 3. Zadatak

II 2. zadatak

Ja sam postavila ovu sliku sa rešenjem zadatka II-1.

I 1. zadatak:

 

H je ortocentar

O je centar upisane kružnice

A1 je podnožje visine iz A na BC

C1 je podnožje visine iz C na AB

 

∠CHN=φ i ∠CHM=180-φ

∠ACC1=90-α

∠HCN=γ-(90-α)=γ+α-90

 

Pošto je CM=CN, onda je ∠CMN=∠CNM.

Poštoje ∠CMN=∠CNM, onda je i ∠ACC1+∠CHM=∠HCN+∠CHN

90-α+180-φ=γ+α-90+φ

360=γ+2α+2φ=180-β+α+2φ

180=-β+α+2φ

2φ=180-α+β

φ=(180-γ)/2=90-γ/2

180-γ=180-α+β

(i)γ=α-β

 

O1 je podnožje visine iz O na AC.

AO1=CO1 (OA=OC)

 

OO1 ∩ AA1 = S

OO1 ∩ A1C1 = T

OO1 ∩ CC1 = E

 

Posmatramo četvorougao SO1CA1:

Pošto je ∠SO1C=90 i ∠SA1C=90, onda je četvorougao SO1CA1 tetivan. Pošto je tetivan, onda je ∠A1SO1=180-γ ⟹ ∠A1SO=γ

 

Pošto je ∠CC1A=90 i ∠AA1C=90, možemo opisati kružnicu oko četvorougla CC1A1A. Odatle dobijamo da je ∠CC1A1=180-α i ∠C1A1A=180-γ.

∠SA1O=180-α-90=90-α

 

Posmatramao trougao A1TS:

∠STA1=180-γ-(90-α)=90-γ+α

Pomoću obrasca (i) dobijamo ∠STA1=90+β

 

Posmatramo četvorougao BA1HC1:

∠HA1B+∠HC1B=90+90=180 ⟹ četovorougao BA1HC1 je tetivan⟹∠A1HC1=180-β⟹∠CHA1=β

 

Posmatramo trougao SHE:

∠HES=180-β-γ=α

 

Posmatramo četvorougao CA1TE:

∠A1TE+∠A1CE=90-β+90+β=180, odakle dobijamo da je četvorougao CA1TE tetivan, odkle dobijamo da je ∠CET=α.

 

Pošto je ∠CET+∠HES=2α=180, dobijamo da je α=90. O je na središtu BC. M=A i N=O.

OA=OC⟹trougao OAC je jednakostraničan, pa je γ=60.

Нека стикер садржи прво ознаку II и редни број задатка, а тек онда коментар о решењу. Срећан рад!

Да коментар вежемо за текст, наведите I па редни број задатка!

Iсм, здраво свима!

 

Овде коментаришемо задатке са такмичења.

Додатна настава 21-12-2019