Четвороугао-задаци (2)

Срећан рад!

4. zadatak

Kada se zavrsi sa skicom, mozemo spojiti sredisnje tacke trapeza da dobijemo trazeni romb. Takodje, mozemo taj trapez podeliti na 4 trougla i samim tim stranice naseg romba ce predstavljati srednje linije trapeza. Analogno se sve jednakosti dokazuju putem pravila srednje linije.

Zadatak 5.

Ako nesto nije jasno javite se na facebooku.

Srecan rad! :D

P.S. Profesorka da li mozete da proverite da li je dokaz dobar. Hvala Vam unapred!!

Слободно наставите дискусију овде!

Why Facebook?

2. Ugao AD1D je jednak jednom od unutrasnjih uglova. S obzirom na to da je ostrar on mora da bude jednak ostrim uglovima (α) u paralelogramu, u ovom slucaju uglu D1AD. Α DD1 je simetrala tupog ugla ADD1 (β/2).

Zbir uglova u trouglu ADD1 je 180 odnosno:

α+α+β/2=180

Takodje vazi i:

α+β=180

Izrazavanjem α preko β dobijamo:

β=2*α

Kada β zamenimo u jednacini dobijamo:

3*α=180

α=60

Одлично је ово решено!

Стварно, Илија, од када се то служиш латиницом? Нисам је до сада приметила.

6. zadatak

Ako oznacimo polovinu stranice DC nekom tackom N,a polovinu AB sa M, rastojanja MB=BC=NM.

Mozemo opisati kruznicu sa centrom u tacki N i poluprecnikom NC.

NC=DN=NM

ugao DMC=90 stepeni (zato sto je periferijski.

3. zadatak

Odgovor je 60 stepeni, jer kada se nacrta skica, primecuje se da dva odsecka jesu jednaka polovini dijagonale, odnosno osnovica trougla je dva puta manja od hipotenuze. Po vec poznatom uglu od 90 stepeni (visina), mozemo zakljuciti da se radi o uglovima od 90,30,60 stepeni.

7. zadatak

2. deo

A2,B2,C2,D2 su redom središta stranica pravougaonika A1B1C1D1

Dokazivanjem podudarnosti trouglova A2A1B1, B2B1C2, C2C1D2 i D2D1A2 dokazujemo da su sve stranice četvorougla A2B2C2D2 jednake. Podudarni su po stavu SUS (a1/2,b1/2, 90 stepeni).

Kako bismo dokazali da je A2B2C2D2 paraelogram moramo da dokažemo da su naspramni uglovi jednaki. Naspramni uglovi A2B2C2 i A2D2C2 su jednaki jer su oba jednaka razlici 180 stepeni i 2 ugla (pritom su svi ti uglovi medjusobno jednaki). Iz istog razloga su i B212D2 i B2C2D2 jednaki.

7. Drugačije rešenje

1. deo

A1,B1,C1,D1-redom središta stranica romba ABCD.

α-οštri uglovi romba

β-tupi uglovi romba

ρ1-ugao AA1D1

ρ2-ugao BA1B1

Dokaz da je četvorougao A1B1C1D1 pravougaonik se svodi na dokazivanje da su svi uglovi u četvorouglu pravi uglovi (iz čega automatski sledi da su stranice paralelne).

Zbir uglova ρ1, ρ2 i D1A1B1 je 180 stepeni, kada bismo dokazali da je zbir uglova ρ1 i ρ2 je 90 stepeni onda bi automatski značilo da je ugao D1A1B1 budućeg pravougaonika 90 stepeni.

ρ1+ρ2+D1A1B1=180

α+ρ1+AD1A1=180

Kako je u pitanju jednakokraki trougao važi:

α+ρ1+ρ2=180

ρ1=(180-α)/2

Takodje je: α=180-β

nakon sredjivanja dobijamo da je:

ρ1=β/2

Kada to ponovimo u trouglu A1BB1 dobijamo:

ρ2=α\2

ρ1+ρ2+D1A1B1=180

β/2+α/2+D1A1B1=180

Pošto važi: α\2+β\2=90

Onda sledi da je D1A1B1=90 stepeni.

Analogno se dokazuje za sve ostale uglove četvorougla.

3. AX=3*XC -> AX=XD

           AX=XD

 ugao AXD=ugao OXD=90 stepeni -->(SUS) trouglovi AXD i OXD podudarni --> AD=DO

           XD=XD

Kako vaze jednakosti AD=DO i AO=OD (polovie dijagonala pravougaonika (dijagonale u pravougaoniku su jednake)) vazi da je i AD=AO. Kako su sve stranice trougla AOD jednake, taj trougao je jednakostranicni. To znaci da su svi uglovi u tom trouglu 60 stepeni ukljucujuci i ugao pod kojim se seku dijagonale.